在科学中，最简单的解释往往蕴含着最多的真理，这一概念被称为"奥卡姆剃刀"。几个世纪以来，这一原则一直影响着科学思想，但在处理抽象概念时，我们该如何评估它们呢？在一篇新论文中，来自加州大学圣巴巴拉分校和加州大学欧文分校的哲学家讨论了如何通过比较科学理论的基础数学来权衡其复杂性。
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来自加州大学圣巴巴拉分校和加州大学欧文分校的哲学家们探讨了如何利用科学理论的数学结构来评估这些理论的复杂性，重点是对称性的作用。虽然他们怀疑仅凭对称性就能对复杂性进行全面比较，但他们注意到对称性在理解理论内在结构方面的作用，并建议未来对不同种类的对称性进行探索。
他们的目的是利用对称性来描述理论结构的数量--或者说一个物体在发生其他变化时保持不变的方面。
经过反复讨论，作者最终怀疑对称性能否提供他们所需的框架。不过，他们确实揭示了为什么对称性是理解结构的绝佳指南。他们的论文发表在《综合》（Synthese）杂志上。
"科学理论通常不会把自己的解释写在袖子上，所以很难说清楚它们到底在告诉你这个世界什么，"第一作者、加州大学圣巴巴拉分校哲学系副教授托马斯-巴雷特（Thomas Barrett）说，"尤其是现代理论。尤其是现代理论。每过一个世纪，它们就会变得更加数学化。了解不同理论中的结构数量可以帮助我们理解它们在说什么，甚至让我们有理由选择其中一种理论。"
结构还能帮助我们识别两种观点是否真的是同一种理论，只是披着不同的外衣。例如，20 世纪初，维尔纳-海森堡和埃尔温-薛定谔分别提出了两种量子力学理论。巴雷特说："他们互相憎恨对方的理论。薛定谔认为，他同事的理论"缺乏可视性"。与此同时，海森堡认为薛定谔的理论"令人厌恶"，并声称"薛定谔关于可视性的论述[......]都是废话"。
不过，虽然这两个概念看起来截然不同，但它们实际上做出了相同的预测。大约十年后，他们的同事约翰-冯-诺依曼证明了这两个概念在数学上是等价的。
苹果和橘子
研究一个数学对象的常用方法是看它的对称性。其原理是，对称性越强的对象结构越简单。例如，圆具有无限多的旋转对称性和反射对称性，而箭头只有一个。从这个意义上说，圆比箭更简单，需要的数学描述也更少。
作者利用自动态将这一标准扩展到更抽象的数学领域。这些函数比较对象的各个部分，从某种意义上说，它们彼此"相同"。自动态为我们提供了衡量不同理论结构的启发式方法： 越复杂的理论，其自形性越少。
2012 年，两位哲学家提出了一种比较不同理论结构复杂性的方法。当且仅当 X 的自变量是 Y 的自变量的子集时，一个数学对象 X 的结构至少和另一个数学对象 Y 的结构一样多。现在将它与一个涂有一半红色的圆进行比较。由于在系统中添加了额外的结构，阴影圆现在只具有原来的一些对称性。
这是一个很好的尝试，但它过于依赖物体具有相同类型的对称性。这对形状来说很有效，但对更复杂的数学来说就失效了。
新加坡国立大学的艾萨克-威廉试图解决这一敏感性问题。我们应该能够比较不同类型的对称组，只要我们能找到它们之间的对应关系，保留每个对称组的内部框架。例如，给蓝图贴标签可以在图片和建筑物之间建立一种对应关系，从而保留建筑物的内部布局。
这种变化使我们能够比较截然不同的数学理论结构，但也会得出错误的答案。"巴雷特说："不幸的是，威廉走得太远了。不是任何对应关系都能做到的。"
具有挑战性的努力
在他们最近的论文中，巴雷特和他的合著者JB-曼查克（JB Manchak）和詹姆斯-韦瑟拉尔（James Weatherall）试图通过限制他们将考虑的对称性或自动变形的类型来挽救他们同事的进步。也许只有由底层对象（如圆和箭头）而非它们的对称群产生的对应关系才是正确的。
不幸的是，这一尝试也失败了。事实上，用对称来比较数学结构似乎在原理上是注定要失败的。考虑一个不对称的形状。也许是墨迹。世界上有不止一种墨迹，它们都完全不对称，彼此完全不同。但是，它们都有相同的对称组--即"无"--因此，所有这些系统都将墨迹归类为具有相同的复杂性，即使有些墨迹比其他墨迹乱得多。
这个墨迹的例子揭示出，我们不能仅仅通过观察一个物体的对称性来判断其结构的复杂性。正如巴雷特所解释的那样，一个物体的对称性数量以零为底线。但一个物体的复杂性却没有相应的上限。这种不匹配造成了结构复杂性上限的假象。
作者由此揭示了真正的问题所在。对称性概念在描述结构方面非常强大。然而，它并不能捕捉到数学对象及其所代表的科学理论的足够信息，从而无法对复杂性进行全面的比较。寻找一个能做到这一点的系统将继续让学者们忙碌不已。
一线希望
虽然对称性可能无法提供作者所希望的解决方案，但他们发现了一个关键的洞察力： 对称性触及了物体自然、有机地具备的概念。这样，它们就可以用来比较不同理论和系统的结构。巴雷特说："这个想法给了一个直观的解释，为什么对称性是结构的良好指南。"作者写道，即使哲学家们不得不放弃使用自动态来比较结构，这个想法也值得保留。
幸运的是，自形并不是数学中唯一的对称。例如，我们可以研究局部区域的对称性，并对其进行比较，而不是只关注全局对称性。巴雷特目前正在研究这将导致什么结果，并致力于描述用一种结构定义另一种结构的含义。
尽管我们还没有弄清这一点，但这篇论文给哲学家们提供了一个目标。我们不知道在通往理解之巅的这一充满挑战的攀登过程中，我们走了多远。前方的道路迷雾重重，甚至可能根本没有山顶可言。但是，对称性为我们继续攀登提供了一个锚。
